空间缆索悬索桥的主缆线形分析

　　空间缆索悬索桥是由主缆和吊索形成的三维索系，其外形美观，改善了结构的横向受力性能及动力稳定性，受到了设计者的青睐。目前空间缆索悬索桥多用于城市自锚式悬索桥，由于空间缆索体系有其独特的优点，将来大跨径悬索桥也可能采用空间缆索体系。

　　一、空间主缆成桥线形计算方法

　　主缆线形的精确计算直接决定了主缆的无应力长度、吊点位置及吊索的无应力长度，进而影响桥面线形及桥塔偏位，因此准确计算主缆线形至关重要。目前主缆的计算理论按照假定不同分为传统抛物线理论、分段抛物线理论、分段直线理论及分段悬链线理论。在忽略主缆抗弯刚度影响将其当作柔性索处理时，分段悬链线理论的假定最符合实际情况，是最为精确的理论，本文即以空间分段悬链线理论为基础建立空间主缆线形的计算方法。基于分段悬链线理论的空间索段的状态方程、分点力学平衡方程及几何相容方程即构成了空间缆分段悬链线理论的基本方程。只要各索段的无应力长度和一个支点的三向分力确定，则可根据上述方程计算出悬索各分点的内力和坐标，本跨主缆的线形就完全确定了。

　　对空间缆索体系悬索桥，当吊索竖向分力及主缆控制点坐标给定时，主缆的线形便是唯一确定的。空间主缆的横向矢跨比不能任意给定，即在一组确定的吊索竖向分力的作用下，其横向矢跨比应是一定值，对应着一组唯一确定的吊索横向分力。因空间主缆线形和吊索力是耦合的，所以空间主缆线形的计算必须同时考虑吊索的影响，不能将吊索和主缆分开来处理。空间缆索的吊索是倾斜的，和主缆一样吊索也应当作悬链线来计算，这样得到的吊索分力便是精确值。在主缆线形迭代计算中，根据吊索上、下吊点坐标(上吊点由当前主缆分点坐标确定)、吊索下吊点竖向分力，采用Newton-Raphson法可迭代计算出吊索的无应力长度及下吊点水平力分量。

　　悬索桥成桥线形的计算顺序总是先中跨，后边跨最后锚跨。即先由中跨计算得出主缆纵桥向水平分力，根据塔顶两侧纵桥向水平分力相等的原则计算边跨，再根据散索鞍的平衡条件计算锚跨。以中跨为例说明空间主缆线形的迭代算法，其计算流程如图1，具体计算方法如下:

　　图1中跨主缆线形计算流程

　　（1）按抛物线理论计算主缆始端(左鞍座IP点)的三向分力FXL，FYL，FZL作为迭代变量初值;

　　（2）从左向右对各索段进行计算，对第i索段由左端三向分力FXi，FYi，FZi及两端纵桥向坐标差LXi由索段状态方程可计算出索段无应力长度Si0及LYi，LZi，同时得到索段右端坐标;

　　（3）对第i号吊索，由2)计算出的上吊点坐标及已知的下吊点坐标、下吊点竖向分力，由假定成桥状态吊索仅在横向平面内倾斜知下吊点处纵向水平分力为零，可计算出该吊索无应力长度及上吊点处的吊索力分量;

　　（4）由力学平衡条件可得第i+1索段的左端三向分力，按相同的方法计算各索段的无应力长度、右端坐标、吊索无应力长度及上吊点分力，直到第N索段;

　　（5）以主缆末端(右鞍座IP点)的Y，Z坐标及跨内指定点的Y向坐标为目标变量，利用修正的影响矩阵法获得迭代变量的增量，反复迭代直到目标变量误差小于允许值为止。

　　在迭代计算中，首先要确定迭代变量(即主缆始端三向分力)的初值。如果初值选取不当，可能造成收敛速度慢甚至不收敛，因此选取合理的迭代初值是确保迭代快速收敛的必要条件。假定空间主缆在桥轴线所在的竖平面及水平面的投影均为抛物线，根据经验假定横桥向矢跨比为半桥宽的0.65～0.80倍，将吊索当作直杆处理，根据上、下吊点坐标及吊索竖向分力来确定吊索横向分力。则可根据抛物线理论计算迭代变量的初值，计算公式如下

　　式中，l为跨径;q为主缆自重荷载集度;w为沿跨长的等效均布荷载;C为两支点高差;f为跨中垂度;S为主缆形状长度;Yi，Zi，Ymi，Zmi为上、下吊点的竖向及横向坐标;PYi，PZi为吊索的竖向分力和横向分力。

　　二、修正的影响矩阵法

　　采用数值解析法计算主缆线形时，不管是成桥状态还是空缆状态，均存在一个非线性迭代的问题，迭代方法的优劣将直接关系到计算的敛散性及求解速度的快慢。迭代法的核心是根据当前状态误差确定下一轮迭代变量较上一轮的增量。目前用于平面缆索线形计算的迭代法主要有线形变化刚度矩阵法和影响矩阵法两种。但在空间缆索线形计算中，这两种方法可能面临计算难以收敛的问题，为此本文提出一种修正的影响矩阵法用于空间缆索线形的计算。影响矩阵法即逐一改变迭代变量，计算相应的各目标变量，最终可得到迭代变量的变化值与目标变量的变化值之间的关系，也就是影响矩阵。然后根据目标变量当前的误差，通过矩阵运算即可得到迭代变量的修正值，修正迭代变量后即可进入下一个循环。

　　设迭代变量为{X}=(x1，x2，…，xn)T，目标变量为{D}=(d1，d2，…，dn)T，目标变量和迭代变量满足以下关系:{D}=(f1(X)，f2(X)，…，fn(X))T。

　　（1）计算当前迭代变量{X}0对应的目标变量{D}0，得到误差向量{E}={D}0－{D}。

　　（2）令当前迭代变量{X}0中第j个元素xj增加Δxj，得到对应的目标变量{D}j，则xj发生单位变化引起目标变量的变化向量{C}j=({D}j－{D}0)Δxj，记为:{C}j=(C1j，C2j，…，Cnj)T。

　　（3）n个迭代变量分别发生单位变化，引起的n个目标变量的变化向量依次排列所形成的矩阵［C］n×n，即为影响矩阵，记为

　　［C］=［{C}1{C}2…{C}j…{C}n］。

　　（4）解方程组［C］{ΔX}=－{E}，则得到迭代变量的增量向量{ΔX}。

　　对于几何非线性影响较大的结构，求得的迭代变量作用于结构上，并不能使目标变量达到期望值。需按步骤1)～步骤4)重复进行迭代计算，直到目标变量误差向量的范数小于指定误差为止。

　　在计算主缆和吊索相互耦合的空间缆索线形时，采用上述影响矩阵法编制了程序，在计算中发现，当迭代初值偏离真实值较多时，计算无法收敛。为了解决这一问题，提出了修正的影响矩阵法:即在计算影响矩阵的系数时，迭代变量的改变量根据上一轮计算的目标变量的误差值来确定，不再保持为恒定值。设第k轮的迭代变量为{X}K=(xk1，xk2，…，xkn)T，计算所得的目标变量的误差向量为{E}K=(ek1，ek2，…，ekn)T，则计算第k+1轮迭代变量增量向量{ΔX}k+1的影响矩阵按式(2)计算。

　　对于修正的影响矩阵法，在计算影响矩阵时迭代变量的改变值根据上一轮误差大小自动调整，避免了整个迭代过程在计算影响矩阵时采用恒定的增量，使得迭代变量修正量的预测精度提高，从而使得整个算法的效率提高。采用修正的影响矩阵法编制的空间缆索线形程序SPCC应用表明:对迭代初值的要求低，具有较高的计算精度及收敛速度。

　　基于空间悬链线理论，建立了空间主缆线形的迭代算法及空间主缆与空间鞍座的切点位置的计算方法，采用数值解析法编制了相应的空间缆索线形计算程序SPCC。利用编制的程序对缆索系统进行计算分析，该套程序计算精度高、收敛速度快，能准确考虑塔顶鞍座、散索鞍及锚跨分散索股的影响。