东海大桥基于温度序列的挠度分析

　　在桥梁建成后，由于受到气候、环境因素的影响，会被逐渐腐蚀和老化，长期的荷载作用，使其强度和刚度降低。不仅会影响行车安全，也会使使用寿命缩短。对结构布局十分复杂的大型桥梁上若仍然沿用传统方法的进行外观检查、养护以及局部检测，已远远难以完备的反映其健康状况，尤其是桥梁的安全问题难以保障。建立一种用以提供全面检测，实时观测大桥结构的承载能力，保证桥体的安全运营。

　　综合已有研究资料，为建立挠度和温度关系数量模型，研究研究思路如下：首先对温度序列与挠度序列进行获取和整理，对于其中的异常值选定规则予以剔除，其次尝试建立若干可行模型，通过对拟合优度，多重共线性分析和残差序列分析等方法对所建模型进行合理性评价最后，对最终所提出模型进行优缺点评析并提出应用办法。（由于版面限制，输出图表基本略去，仅保留最终拟合结果及少量必要图表）

　　一、数据集概述及初步分析

　　在日常观测中，温度随时间的推移而周期性变化，而温度又为挠度的主要影响因素之一，故尝试将数据集DATA视为时间面板数据进行分析并建立适当模型对挠度（GP）进行估计并对数据集DATA中的缺失值进行填补。

　　（一）数据的性质检验及筛选。

　　根据时间序列分析的要求，不论自变量或因变量，均不得为白噪声序列。经分析，挠度（GP）与18个温度序列的自相关系数与偏自相关系数显著不为零，因而不是白噪声序列。又通过ADF检验方法，在1%、5%、10%的置信度下，GP（挠度序列，下文中挠度序列可用GP代指）及温度序列均显著拒绝存在单位根的原假设，即GP平稳。最后由6 法删去由仪器失常及其他因素造成的异常值。

　　（二）缺失数据的填补。

　　挠度的具体表现为桥梁在温湿度及其他自然环境的共同作用下，由于不同结构体导热性能以及膨胀系数不同而导致的桥体中心点具有连续性的位移变化（隆起或下沉）。因而在此尝试用自回归模型对序列GP进行拟合。

　　通过自回归图，发现GP在短期内存在的偏自回归并一阶截尾，自回归系数拖尾，即GP有明显的一阶自回归趋势。尝试用模型1对其进行拟合。

　　其中C1为一维系数向量， t为白噪声项。

　　其自回归图亦表明残差并未完全呈现白噪声的特征，换用表达式2对GP进行拟合。

　　其中，GP的一阶差分系数显著，且差分项D（GP）的增加使得R2大幅提高并达标准因而选用模型2对空白数据进行填补。

　　二、线性时间序列模型的建立

　　线性参数模型的建立：

　　协方差分析显示十八个温度序列之间存在着强相关；而任意温度序列与挠度的相关系数均小于0.2，可以认为无线性相关。于是放弃变量线性拟合，寻求温度与挠度之间的关系。尝试下列模型：

　　其中TEM=（CT1，CT2，…，CT6，ST1，ST2，…ST12）'为18��980的温度矩阵，C1为1��系数向量，C2为1��的系数向量，C0表示残差项，LNGP=ln（-GP）。

　　拟合后，前三个方程拟合程度极弱，不能有效估计GP的数值和波动情况均予以舍去，其相关输出与分析由于篇幅限制均不列示。仅有LNGP=C�TEM在无自回归项时拟合优度既已达到R2=0.49，推测此模型在经过修正和扩大样本量之后可能会较好的预测LNGP。在进行修正之前舍弃 t 检验参数不显著的变量。

　　步骤如下，记为操作1：

　　1）删去模型中最不显著序列（相应 p 值最大的序列）；

　　2）舍弃此序列对模型重新拟合；

　　3）重复步骤1）、2），直到所有变量系数都显著；

　　4）对模型进行最终拟合。

　　所得残差的自回归系数拖尾，偏自回归系数一阶截尾。表明残差序列存在显著地一阶自回归。对模型加入一阶自回归并重复操作1中1）～4）步，

　　得R2=0.615148，较上一模型虽有提高但仍不完善。对残差进行同样操作，发现无短期相关。回忆本文先前所提及的挠度受到周期性序列温度的影响。绘制100阶滞后自相关图得残差序列在滞后96阶时对当前阶影响显著，向模型中加入AR（96），并重复操作步骤1）～4）。重新拟合后可以看出，通过自回归项的添加，自变量的数目的显著减少和R2的上升证明以该方向探究温度序列与挠度序列之间的参数关系的方法是可取的。再观察相应的残差序列100阶滞后的自回归图。从图中看来，自相关或偏自相关系数均呈正弦方式波动递减，虽然普遍在两倍标准差以内波动，但仍存在高于两倍标准差的现象，但由于自回归值或偏自回归值高于两倍标准差的数量较少，分部零散以及p值不显著等特征在此认为残差基本达到白噪声的水平，不予继续提取残差中的剩余信息。

　　三、非线性模型的建立

　　在以上分析中注意到，正值GP不可被估计，且等式右端的常数项估计为0。因此更改模型为非线性模型：

　　选择指数混合非线性模型与挠度自回归模型相比将有以下两点优势：

　　在理想情况下，由于在桥梁使用寿命中，自然状态下上海地区气温始终在一定范围内波动，并且严格以年为周期。因而用以估计非线性模型的自变量范围取值范围可以取遍可能的全集。在做预测或估计时不会出现输入自变量超出模型所适合的范围。

　　由于该模型的预测依靠于外生变量的输入作为指数项，所以不会因为预测时间的推移而使因变量（GP）趋于某一固定的值，0。由Matlab计算并进行拟合优度检验，计算得R2=0.9558，表明模型对原方程拟合程度贴切。 四、进行主成分分析达到模型简化

　　在上述建模中发现在最终模型中所选取的温度序列组随着所选时间段的不同而不同。因而在此尝试使用主成分分析选取主成分代替温度序列对挠度进行拟合，从而减少因样本框选取而产生的估计误差。

　　回顾18个温度序列根据监测点位置不同而分为检测钢梁温度的CT1～CT6序列（记为矩阵TEM1）以及检测混凝土结构的ST1～ST12序列（记为矩阵TEM2）。而挠度主要由结构温差导致，所以通过对两温度矩阵分别取主成分带入拟合进而得到模型。用princomp语句对TEM1以及TEM2进行主成分分析得到得分函数和主成分矩阵（得分矩阵）。TEM1的第一主成分至第六主成分依次记为X1～X6。相应的得分函数为[747.7219 22.0784 7.9347 1.9127 0.4917 0.1667]，累计贡献率为[95.82% 98.65% 99.67% 99.92% 99.98% 100.00%]，则选取第一主成分代作为温度序列TEM1的替代。

　　TEM2的第一主成分至第六主成分依次记为X01～X12。相应的得分函数为[876.6472 18.9095 9.0033 1.9399 1.0674 0.9025 0.5468 0.3370 0.2085 0.1221 0.0633 0.0445]，累计贡献率为[96.36% 98.44% 99.42% 99.64% 99.76% 99.85% 99.91% 99.95% 99.97% 99.99% 100.00%]，则选取第一主成分作为温度序列TEM2的替代。

　　将X1和X01代入下式对挠度进行拟合

　　与模型2相比减少了输入参数且拟合优度接近。因此选取模型3代替模型2作为最终模型。

　　五、应用

　　通过本实验得到了挠度与外生变量温度的非线性时间序列分析，对此我们可以满足实验伊始所提出的要求。在进行扩大数据量检验模型后如若无误，可定期或不定期的将检测所得数据带入该模型，以拟合程度挠度和温度检测器进行评价和估计，并在可预测外温变化的情况下对挠度进行预报以及桥梁稳定性或老化程度进行评判。由于工科背景不足及相关经验缺乏，就应用部分不作详述。

　　六、结语

　　受到样本跨度不足及质量不高等问题的影响，该模型仍存在很多不足，详述如下，并希望在数据充足时可依思路对其进行修改并希望可以对读者进行启发。

　　1、残差序列非白噪声：对于最终模型（模型3）相应的残差序列并没有通过JB检验，不服从正态分布。表明残差序列中仍有可以提取的信息以对模型进行改进和优化。

　　2、季节性因素并未提取：从工科方向了解到，桥梁挠度收到月度和季度周期性因素的影响。然而个人操作技巧及数据的时间跨度不足以支持在本次分析中对季节性因素予以提取和分析。因此推测在图15中Yhat和GP间所存在的差异也概为未提取的季节性因素所致。

　　3、误差项的删除：再删除误差项的时候本文采取简单的6 法，然而既然本文从时间序列出发，选择迭代法剔除异常值可能更为恰当。

　　4、温度序列分析不足：由于方向模糊和相关知识背景不足，本文中除在主成分分析中尝试综合提取温度序列中的信息外并未对主要影响挠度的温度序列进行深入分析，从而可能导致实验效率低下或信息提取不足。

　　5、滑动平均项的影响：基于模型拟合的目的，滑动平均项的添加将影响预测功能的实现因而在实验过程中发现，当引入滑动平均项后线性―指数模型的拟合程度会有显著提高。在不注重预测功能的模型估计中可以考虑。并且，在缺失外生变量的挠度自回归中，该模型的拟合程度依然出色。

　　6、桥梁老化问题：任何建筑都有使用寿命问题，由于受到样本数据的限制，在此未能对桥梁老化进行讨论。

　　7、危险临界值：本文仅限于对挠度与温度提出了分布关系并对相关参数进行拟合，然而受知识和数据所限，并不能提出基于此模型或关系的警戒值。

　　然而本模型也有很多可取之处：

　　1、定义域：该模型基于基本涵盖全定义域的数据集进行拟合，扩大适用范围，并与自回归模型相比能更好的对模型进行预测。

　　2、差分运算的省略：与此前文献相比，本文所述方法并不依赖差分，较完整的保留了数据特征，减少了由于差分导致的信息损耗，

　　3、温度序列组合的应用：此处用温度序列组合代替