抗差模型与时间模型预测的运用

在实际应用中，变形序列数据由于受到多种偶然因素的影响，表现出一种随机过程，且彼此数据之间存在一定的依赖关系。同样，因数据里含有粗差，不严格服从正态分布，具有拖尾特性，因此用常规的时序方法难以很好地拟合动态数据。对于一个实际变形序列，其数据量大，所含粗差多以及数据误差长尾分布。随着抗差估计理论的成熟，将抗差估计引入到时间序列中，改进现有的时序分析方法，构造出基于抗差估计的时序方法。

1基于抗差估计的时序建模方法

实际问题中的时间序列往往不是平稳序列，而是非平稳序列。这些非平稳序列中可能含有某种变化趋势，或因季节变化而含有周期性变化等。若将非平稳序列的样本观测值记作Z1，Z2，…，ZN，对于相应的时间序列{Z}t有:Zt=f(t)+g(t)+xt(1)式(1)中f(t)为趋势项，g(t)是周期项，而xt是平稳序列。如果能从Zt中将f(t)、g(t)消除，剩下的{x}t就成为平稳序列了。非平稳时间序列的建模方法可分为两类［1］，一类称为直接剔除法，它是通过差分方法将确定性部分从非平稳时间序列中直接剔除掉，再建立ARMA模型。另一类称为趋势项提取法，它是从非平稳时序中提取确定性部分，将确定性部分用明确的函数关系式表达，再对剩下的残差序列建立ARMA模型，最终将确定性函数关系式与ARMA模型组合，得到非平稳时序模型。

1.1直接剔除法对没有周期项的非平稳序列，采用一定阶数的差分方法可以消除趋势项，从而使时间序列平稳化。如果时间序列具有周期性变化，周期为d，则可首先用差分算子d=(1－Bd)作延迟d步差分，使其转化为平稳序列，即d消除周期性影响，再作n阶差分消除趋势项影响，从而得到平稳序列。

1.2趋势项提取法［1］非平稳时间序列是确定性部分与平稳随机部分的叠加，在这种情况下，可采用确定性函数式来描述其确定性部分，采用ARMA模型描述平稳随机部分，再将确定性函数与ARMA模型进行组合成为非平稳时序模型。在这类建模方法中，问题的关键在于求出确定性部分的函数表达式。提取趋势项的方法有很多，可以采用线性函数、幂函数、指数函数、周期函数等方法。由于近年来灰色模型在许多领域的数据处理方面得到了广泛应用，因此也可采用灰色模型进行趋势项提取。

GM模型建模过程中的AGO处理是很重要的一步，它可以使原始序列中所蕴涵的确定性信息在AGO处理后得到加强，使之成为单调增长速度很快的数据序列，从而可以用指数函数式来表达，另外AGO处理后，随机性信息又可相互抵消一部分，就更加便于准确地提取趋势项。GM模型建好后，可对原始序列减去趋势项和周期项部分得出残差序列，然后按照平稳时间序列建立ARMA模型，最后再把确定性函数关系式和ARMA模型组合得到非平稳时序模型。

抗差估计(RobustEstimation)是在粗差不可避免的情况下，选择适当的估计方法，使所估参数尽可能减免粗差的影响，得出正常模式下最佳或接近最佳的估值。抗差估计的目标是在采用的假定模型下，所估计的参数应具有最优或接近最优性;果实际模型与假定模型存在较小的偏差，则对应的估计参数所受的影响也较小;即使实际模型与假定模型有较大偏差，其参数估值的性能也不应太差，亦即不致于对估值产生灾难性的后果。基于抗差估计的时序建模步骤［2］:(1)对原始序列使用GM模型提取趋势项，利用抗差估计计算参数。(2)从原始序列x(0)t中去掉确定性趋势项得到序列x(1)t。(3)对序列x(1)t进行修补(迭代权为零的观测值)生成x(2)t。(4)对x(2)t均值化处理生成x(3)t。(5)对x(3)t计算自相关函数和偏相关函数，并进行初步识别。(6)使用抗差估计计算参数。(7)进行模型适用性检验。(8)生成组合模型。(9)进行拟合与预报。

2算例

通常建立的GM模型的参数估计是建立在最小二乘基础上的，它不具备抗粗差能力，而在实际观测过程中，不可避免地会使观测值含有粗差，为抵抗粗差干扰，就需引入抗差估计。以表1所测的某边坡监测点位移监测成果为例，使用抗差估计建立灰色模型。GM模型与时序分析模型的组合模型(1)建立GM(1，1)模型提取趋势项，进行AGO处理，得到一个新的序列，构造数据矩阵，按抗差估计(采用Huber法迭代权函数)，得到参数估值，对原数据使用抗差估计建立灰色模型，结果见表2。

对前40期数据进行拟合，形成残差序列。对残差序列进行自相关函数和偏相关函数的计算，结果见表3。将所建GM模型与时序模型组合，对前40期数据进行拟合，对后10期数据进行预报，并与实测值进行比较，结果见表5和表6。可以看出，在30期数据有异常，使用抗差估计起到了抗差的作用，建模不受粗差影响，从而保证模型的可靠性。从图1可见拟合情况是比较符合实测情况的，能够反映实际序列的变化规律，拟合后个别残差较大，当预报步数较小时，预报精度还是比较高的，但随着预报的步数增大，预报精度就会逐渐降低。

2.2其它方法算例灰色模型分析法，还是利用表1的数据来计算，利用GM(1，1)建模，首先对原数据构成的序列进行一次累加生成一个新的序列为x(1){}t，然由图2可看出，由于所建模型公式为指数函数，而且原始数据基本为递增序列，所以拟合出来的值呈指数递增趋势。下面检验灰色模型的精度，通常采用后验方差检验，算得原始序列方差S1732，计算后验差比值C=S和小误差概率P={e(k)＜0.6745S}1，代入数值得C=0.46，P=0.9，说明模型精度达到合格的要求

3结论

前面通过实例介绍了两种建模方法在实际变形分析中的计算应用，说明不同模型各有其特点，在灰色模型法中应用GM(1，1)模型，在建模过程中AGO处理是一个很重要的环节，可以加强原序列中的确定性信息，减弱随机性信息，从而准确地提取趋势项。本文在时序分析建模的基础上，运用了GM(1，1)来提取趋势项，然后对残差进行时序建模，形成灰色与时序的组合模型，在建模中的参数估计方法，采用抗差估计来取代常规的最小二乘估计法，来达到抵抗粗差的目的。从实例计算来看，效果比较理想。